Mac

Fly

Une petite énigme

Du temps où je vivais à LOndres, j'allais souvent rouler à Victoria Park. A force de tourner en ronds (à un homéomorphisme près), j'ai commencé à discuter seul puis à pour que ça ne devienne pas trop monotone. Les gens me regardent passer tout en m'écoutant, d'autres ne font que me doubler (ou je les double, c'est plus fréquent). Voilà donc un problème qui m'est venu à l'esprit:

Supposons:

• ✔ Je roule dans le parc, supposé rond, de 1.700 km.
• ✔ Je roule à vitesse constante de 21.453 km/h.
• ✔ Je fais 47 tours (mon record en soirée).
• ✔ Un individu, Lenny, entre au même moment que moi dans le parc.
• ✔ Il entre à l'opposé du parc.
• ✔ Endurant, il roule autant de temps que moi.
• ✔ Il a lui aussi une vitesse constante (réaliste, à pied ou à vélo), toujours dans le même sens (peut être opposé au mien).
• ✔ Chantant fort, on peut m'entendre à condition d'être à moins de 200m devant ou 88m derrière.
• ✔ Je chante sans discontinuité.

Question: Quelle doit être la vitesse de Lenny pour qu'il puisse bénéficier au maximum de mes "talents" de chanteur?

Vos réponses (détaillées) peuvent être envoyées par email à mick4553@gmail.com. En cadeau pour le premier qui trouve: je viens le voir !*

Suggestions d'amélioration:

• ✔ Ma vitesse n'est pas constante mais suit la distribution de mes temps (dispo sur demande).
• ✔ Lenny rentre au même endroit et en même temps que moi, mais préfère ne pas m'entendre.
• ✔ Je fais un nombre aléatoire de tours, entre 10 et 51.
• ✔ Lenny entre à un endroit au hasard, à une heure aléatoire dans le parc.
• ✔ Il roule une durée aléatoire entre 20 minutes et 5h.
• ✔ Il suit une vitesse C¹ (continue, dérivable et de dérivée continue) mais non C1 constante.
• ✔ On m'entend non pas selon un modèle booléen, mais suivant un modèle "en cloche".
• ✔ Je chante par intervalles.

A vos calculs !

*Sous certaines conditions que je fixe moi-même (selon le lieu et la personne qui trouve...). Sachant que pour l'instant je suis le seul à avoir trouvé, mais suis un peu décu de la réponse.

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Finalement, je suis un peu décu du résultat, il faut que l'autre cycliste roule très légèrement plus doucement que moi: à 21.12 km/h. En gros, il ne m'entendra qu'à la fin, et lorsqu'il sera trop loin pour m'entendre, je m'arreterais de rouler.

Pour les puristes, voici le code R que j'ai utilisé pour résoudre le problème:

library(data.table)

do_hear <- function(xm, xl, dlap, ...) {
  dist <- (xm - xl) %% dlap
  sol <- (dist >= dlap-88) | (dist <= 200)
}
get_pos <- function(t, xi, vi, ...) {
  t*vi + xi
}

get_time <- function(vl, dt=1, nlap=47, dlap=1700, vm=21.453/3.7, xm=0, xl=dlap/2, ...) {
  ttot <- (dlap*nlap)/vm
  tint <- seq(from=0, to=ttot, by=dt)
  
  solut <- data.table(
    t=tint,
    xm=get_pos(t=tint, xi=xm, vi=vm, ...),
    xl=get_pos(t=tint, xi=xl, vi=vl, ...)
  )
  solut[,hear := do_hear(xm=xm, xl=xl, dlap=dlap, ...)]
  t.hear <- solut[,sum(hear)*dt]
  t.hear
}

get_time_v <- Vectorize(get_time)

dv <- seq(4, 9, 0.001)

sol.tab <- data.table(dv, sol=get_time_v(dv))

sol.tab[,plot(dv*3.6, sol/60, pch=20, xlab='speed [km/h]', ylab='time heard [min]')]
sol.tab[,lines(dv*3.6, sol/60)]